定义
1.第(k+1)行的首个非零元前的零元个数大于第k行这种零元个数(不能等于，避免"一次下两级")
2.若某行没有非零元，则其下所有行的元素全是零
若行阶梯形矩阵的非0行的首非零元均为1，且这些首非零元所在列的其他元素全是0，则为行最简形矩阵
矩阵通过行变换可以变换为行阶梯形矩阵甚至行简化阶梯形矩阵
变换后行阶梯形并不唯一，但行简化阶梯形矩阵是唯一的
计算方法
通过初等行变换，逐列变形成目标样式(尽量保持顺序，避免计算混乱)
·有可逆性的矩阵一定是方阵，且AA-1 = I(I为单位阵)
·非方阵不能讨论可逆性，即既不是可逆也不是不可逆。
·在使用A-1之前一定要确保可逆
计算方法
1.伴随矩阵法(不常用，计算量大)
A-1 = A*/|A|
2.初等行变换法
原理：根据初等行变换可以等于用初等矩阵左乘来代替从而证明
性质
1.若一个矩阵可逆则其逆矩阵唯一
2.若某个矩阵可逆，则其可交换(由伴随矩阵法求逆矩阵，|A|≠0时才能有逆矩阵) 推论：当A与B为n阶方阵时，只要满足AB=I，即可推出A可逆与可交换
叠甲:自己当笔记用的，觉得乱的话别喷，有错的话请指正
1.方阵与其转置的行列式相等
2.行列式有两行(或列)相同，则行列式等于0 (推广:两行成比例则为0)
3.若某行元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，这两个行列式的其他部分和原来的行列式相同
(等号两边对第i行展开，再使用乘法分配律即可证明)
4.若将初等行(列)变换用于n阶行列式，则有：
(1) 方阵A中某行(列)乘以a得到B，则|B|=a|A|（有几个公因子，就提几次）
(2) 方阵A中某行(列)的k倍加到另一行(列)得到B，则|B|=|A|
线性方程组的初等变换(高斯消元法解方程组)[对应增广系数矩阵]
1.交换两方程位置 [交换两行]
2.在方程两端乘以数k≠0 [某行乘k]
3.某方程两端k倍加到另一方程上 [某行的k倍加到另一行上]
解方程组，对增广矩阵和系数矩阵 只做初等行变换
以无解情况为例:
明显的，增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩
当增广矩阵的秩大于系数矩阵时，化为阶梯形时，会出现如上述例子最后一行的情形，因此无解
总的来说，对于任意线性方程组，解的判定方法如下：
以一个线性方程组为例
其可使用矩阵方程形式表示
Ax = b
其中 A 为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数项向量
定义增广矩阵
用向量表示线性方程组
矩阵的转置就是把原本的行变成列，原本的列变成行
矩阵转置的运算性质
1.(AT)T = A
2.(A+B)T = AT+BT
3.(aA)T = aAT
4.(AB)T = BTAT （转置提出来要颠倒顺序）
对称矩阵和反对称矩阵
AT = A即为对称矩阵(主对角元任意)
AT = -A即为反对称矩阵(主对角元为0)
（对称矩阵和反对称矩阵都一定是方阵）
对称矩阵的性质
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1.通过定义计算
n阶行列式的值由多个项之和组成，取自所有的不同行不同列的n个元素，每个项的符号由以下规则确定
将元素的行标按自然顺序排列，列表的逆序数的奇偶性决定其正负(偶正奇负)
一般来说，二阶行列式直接计算，三阶行列式可用定义也可用其他办法化简
2.行列式按一行(列)展开
为了计算方便，一般选定0最多的行或列展开，大量元素可以通过乘0而消失
代数余子式
k阶子式的定义
在矩阵A中任取k行k列(指数量而不是index)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变他们在A中的位置次序而得到的k阶行列式，称k阶子式
秩
矩阵A中有一个非零的r阶子式D，且所以的r+1阶子式(若存在)全等于0，那么D称为矩阵A的一个最高阶非零子式，r称为A的秩(非0子式的最高阶数)
当且仅当矩阵的秩等于行数和列数的最小值时，称为满秩阵(若为方阵则行列式不为0)，反之为降秩阵
矩阵做乘法的基本要点
1.左矩阵的列数等于右矩阵的行数，结果的形状为行数和左矩阵相同列数和右矩阵相同(中间相等，目标形状同两边)(矩阵形状推导)
2.矩阵乘法一般不能交换，除非它可交换(即一般情况下，AB≠BA)
3.AB=O不能得出A=O或B=O，AB=AC不能说明B=C(不满足消去律)
4.基本计算方法:遍历左矩阵的每行，去和右矩阵的每列的各个元素相乘求和，作为目标矩阵的一个元素
5.对角矩阵可以直接主对角线每个元素相乘得到目标矩阵
矩阵乘法的运算规律
初等变换的定义
1.对调任意两行row(列column)，记作rij cij
2.用非0常数a乘以矩阵某行(列)的所有元素，记作ri(a) ci(a)
3.将矩阵中第i行(列)的k倍加到j行的对应元素上，记作rij(k) cij(k)
若矩阵A经过有限次初等变换成矩阵B，就称A与B等价，记作A~B
矩阵等价的性质
(1)反身性 A~A (自己和自己等价)
(2)对称性 若 A~B 则 B~A
对于行数和列数大的矩阵，常常在A的行间作水平线，或列间做铅垂线把大矩阵分成小矩阵是分块法，每个小矩阵为A的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。
运算规则
(1)和数乘相同
(2)一定要是相同形状的矩阵，并且要采取相同分块法
(3)A与B的形状符合乘法规则，并且A列的分法和B行的分法相同
(4)每个子块都要求转置，而且整体还要转置
常用分块形式及其应用
分块对角矩阵
定义
若某个向量组的部分组满足线性无关，且该向量组中的任一个向量都可以用该部分组线性表示，则称该部分组为原向量组的一个极大线性无关组
关键
1.线性无关 2.再多来一个就线性相关了
结论
1.零向量组没有线性无关组
2.线性无关的向量组的最大线性无关组即为它本身
3.向量组的极大线性无关组可能是不唯一的
4.向量组和它任一极大线性无关组等价
5.同一向量组的两个极大线性无关组等价，所含向量个数相等
概念
线性表示: 若一个向量可以由一个向量组的各向量通过的数乘的和表示，则称这个向量是这个向量组的线性表示
线性相关: 若一个向量组线性表示为零向量时，系数不全为零，则称这个线性组是线性相关的。
ps:若向量组只包含一个向量时，仅有该向量为零向量才能说线性相关
线性组合和线性表示的结论
1.零向量是任意向量组的线性组合
2.向量组中的任意一个向量均可用本向量组线性表示(该向量系数取1，其他取0)
3.任一n维向量α，都可由n维基本单位向量线性表示，且表示法唯一
定义
向量组的秩: 向量组的极大线性无关组的向量个数
列秩: 矩阵的列向量组的秩
行秩: 矩阵的行向量组的秩
定理
矩阵的秩等于列秩等于行秩(三秩相等)
结论
1.秩是唯一的，等于极大线性无关组中的向量个数
2.某个向量组线性无关 等价于 秩等于向量个数
某个向量组线性相关 等价于 秩小于向量个数
3.若(I)可以由(II)线性表示，则 r(I)<=r(II)
仅有方阵才有伴随矩阵
定义计算
将原矩阵的每行的元素求代数余子式，再填回列对应的位置(按行求，按列放)，以A*表示
性质
1.伴随矩阵和原矩阵可交换 A*A=AA*=|A|I
2.对任意方阵A，有|A*|=|A|n-1
3.(AT)* = (A*)T (求伴随矩阵和求转置可以交换顺序)
4.若A为二阶方阵，则其伴随矩阵:主对角线交换，副对角线变号
(未完工？)
向量相关的概念
1.零向量:所有分量(向量中的每个元素)全为零的向量
2.负向量:每个分量取相反数得到的向量
3.向量的转置:行向量和列向量的互换
向量的运算规律
α + β = β + α （交换律）
(α + β) + γ = α + (β + γ) （结合律）
α + O = O + α = α
α + (-α) = O
(kl)α = k(lα) = l(kα) （k与l都为常数）